유사 행렬 (Similar Matrix)

유사 행렬(Similar Matrix)이란?

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해 $B = P^{-1}AP$를 만족하는 $n\times n$ 행렬 $P$가 존재한다면 $A$와 $B$는 Similar Matrix

일단 정의는 위와 같다. 이때 위 정의로부터 여러가지 특성들이 발견된다.

1. $A$는 자신과 Similar 하다. $A = P^{-1}AP$ (if $P = I$)
2. $B$가 $A$와 Similar 하다면, $A$도 $B$와 Similar.
3. $B = P^{-1}AP \rightarrow A = PBP^{-1}$
4. $A, B$가 Similar. $B, C$가 Similar하다면, $A$와 $C$도 Similar하다.
5. $$
   \begin{align}
   B &= P^{-1}_1AP_1 \\
   C &= P^{-1}_2BP_2 = P^{-1}_2P^{-1}_1AP_1P_2 = Q^{-1}AQ (Q = P_1P_2)
   \end{align}
   $$
6. $A$와 $B$는 Rank가 같다.또한 역행렬의 rank는 역행렬 이전의 행렬과 동일하므로 $P^{-1}$ 또한 Full Rank이다.
7. 그러므로 $rank(P^{-1}AP) = rank(A)$가 된다.
8. 먼저 $P$는 역행렬이 존재하므로 Full Rank이기에 $rank(AP) = rank(A)$가 된다.
9. $A$와 $B$의 Trace가 같다.
10. $Tr(P^{-1}AP) = Tr(APP^{-1}) = Tr(A)$ (by circular property)
11. $A$와 $B$의 determinant가 같다.
12. $\det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \frac{1}{\det(P)}\det(A)\det(P) = \det(A)$
13. eigen value도 같다.$P^{-1}APP^{-1}v = P^{-1}\lambda v = BP^{-1}v$가 되며 eigen value는 $\lambda$로 같으며 이 경우 eigen vector는 $P^{-1}v$로 기존 $v$와는 다른 것을 알 수 있다.
14. $Av = \lambda v$ 상태에서 $A$의 왼쪽에 $P^{-1}$, $A$의 오른쪽에 $PP^{-1}$을 곱한다.
15. $A^n$과 $B^n$도 Similar
16. $B^2 = P^{-1}APP^{-1}AP = P^{-1}A^2P$

 

이외에도 식에서 보이듯이 이는 고윳값 분해와 비슷하다. $A = P^{-1}BP$에서 볼 수 있듯이 이는 이전에 공부한 고윳값 분해인 $A = P\Lambda P^{-1}$와 매우 유사한 모양을 보인다. 그렇기 때문에 유사 행렬은 대각화(고윳값 분해)와 매우 밀접한 관계를 가진다.

이러한 Similar Matrix는 Eigenvalue를 구할 때 Similar한 행렬을 찾아서 eigen value를 구하면 상대적으로 더 쉽게 찾을 수 있다고 한다.

하지만 주의할 점으로 두 행렬의 Eigenvalue가 같다고 모두 Similar하지는 않다는 것이다.

 

또 대각화 이외의 관점에서 Similar Matrix를 보자면 유사 두 행렬 $A, B$는 같은 선형 변환(Same Eigenvalue)을 다른 기저(Diff Eigenvector)에서 수행한다는 점을 생각할 수 있다.

이러한 행렬의 유사성을 이용하면 고유값에 대한 변화 없이 행렬의 기저를 바꿀 수 있음을 알 수 있고 위의 특성들에서 알 수 있듯이 Rank, Det 등 여러가지 Invariants를 공유한다는 점도 중요하다.

 

Reference

• 유튜브 혁펜하임
• [선형대수] Similarity Transformations