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선형대수학 개요

한때 학교에서 선대를 A+ 받고 신났던 적이 생각난다. 하지만 시간이 지나며, 여러 논문들과 자료들을 보며 나는 선대에 대한 개념의 이해조차도 제대로 되어있지 않다는 생각이 계속 들었다.

고유값 분해도 왜 해야 하는지도 잘 이해가 가지 않았고, 이 때문에 이를 응용한 PCA라는 기초 개념조차 제대로 이해할 수 없었기 때문이다.

그래서 항상 선대를 언젠가 한번 날 잡고 공부를 제대로 다시 해봐야겠다는 생각을 항상 했었는데, 굉장히 설명도 쉽고 좋은 유튜브 강의를 찾아서 이를 베이스로 선형대수학의 핵심 개념들을 재정리 해보고자 한다.

선형대수학이란?

선형대수학이란 말 그대로 “선형 방정식”을 푸는 수학의 분야로 여기서 “선형”이란 직선처럼 일관되고 단순한 관계나 패턴을 의미한다.

즉, $ax^2 + bx + c = y$와 같이 비선형적인 식은 다루지 않는다. (근데 $x^2$을 그냥 하나의 변수로 보고 나타낼 수 있긴 함 ㅋㅋ)

하지만 $ax + by + cz = 3$과 같은 여러 개의 미지수를 다루는 식은 선형 방정식이라 할 수 있다.

선형대수학에서는 아래의 개념들을 기반으로 선형식을 풀어나가는데 개념을 훑어보자..

벡터: 고등학교 기하와 벡터 시간에 배운 그 벡터로 크기와 방향을 가졌다. 일반적으로 공간 상의 점을 나타낼 때 벡터를 사용해 나타낼 수 있다.
행렬: 고등학교 1학년 때 가장 처음 배우는 개념인 그 행렬과 동일하다. 그때는 $2 \times 2$ 행렬을 주로 다뤘지만 이젠 대학교니까 $n \times n$ 짜리 행렬을 다룬다.
벡터 공간: 여러가지 벡터들로 나타낼 수 있는 공간을 의미한다. 앞으로 자주 보일 행렬의 열 공간, 행 공간은 행렬의 열 벡터, 행 벡터들로 나타낼 수 있는 공간을 의미한다.
선형 변환: 간단히 설명하면, “벡터를 또 다른 벡터로 바꾸는 규칙”이라 볼 수 있다.
한 벡터가 있을 때 이 벡터에 상수 scala를 곱해 이 벡터를 늘리거나, 다른 벡터를 더하거나 곱해 위치를 옮기거나 할 수 있다.
고유값과 고유 벡터: 행렬이나 선형 변환에 대한 매우 중요한 개념으로 특정 방향에서의 스케일 변화를 나타낸다.

뭐 아직 하나도 안 배워서 고유값, 고유 벡터가 뭔지도 정리가 안되어있으니 대충 이런 개념들이 나온다는 것만 짚고 넘어가도록 하자.

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