행렬과 벡터의 기초
행렬. 정말 오랜만에 듣는 개념이다. 아마 고등학교 1학년 때 행렬을 처음 배우고 선대를 할 때까지 한번도 안 들어본 것 같다. (유사 공대인 컴공이라 그럴지도..)
벡터는 매우 익숙한 걸 보면 고3 때 기하와 벡터에서 처음 나와서 계속 나오는 개념인 듯하다.
뭐 어쨌든 본 장에서는 다음 내용들을 다룬다.
- 선형대수학의 도구
- 행렬과 벡터의 개념
행렬과 벡터의 연산은 다음 장에서 배운다.
선형대수학의 도구
행렬과 벡터에 대해서 다루기 전 먼저 선대에서 사용하는 도구들에 대해서 알아보자.
- Scalar : 단일 Number로 소문자 Itelic 체로 표기한다.
- Vector : Scalar를 쌓아 놓은, 즉, Scalar의 1 차원 배열로, 배열 내에서 순서를 가지며, Bold 체로 표기하거나 소문자 위에 작은 화살표로 표시하며 아래와 같이 나타낼 수 있다.
$$
\textbf{v} = \begin{bmatrix}
v_1\\
v_2
\end{bmatrix},
\vec{v} = \begin{bmatrix}
v_1\\
v_2
\end{bmatrix}
$$ - Vector 내의 수(Scalar)의 개수가 벡터의 차원을 의미하며, 일반적으로 Vector는 Column 벡터로 표기하게 된다. Vector를 이용해 좌표를 나타낼 수 있으며 Vector 내의 각 Scalar는 각기 다른 축에 대한 좌표를 의미한다. (즉, Vector = 좌표라 생각해도 좋다.)
- Matrix : Scalar의 2 차원 배열로 각 Column들을 Vector로 생각할 수 있으며 이러한 Vector의 차원 m과 Vector의 갯수 n에 따라서 Matrix의 Shape라는 것이 정해지는데, 이 경우 $m \times n$이다.Matrix의 각 요소는 2개의 좌표로 접근 가능하며 행렬 $A$의 1번 row, 2번 column의 요소에 있는 값은 $A_{1,2}$로 접근 할 수 있다.
$$
A = \begin{bmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2}\\
A_{2,1} & A_{2,2}
\end{bmatrix}
$$ - Tensor : 텐서는 2개 보다 더 많은 축을 가진 Matrix로 이전과 동일하게 그냥 축의 갯수 만큼의 수로 각 요소(Scalar)에 접근하면 된다.
위와 같은 개념들을 사용해 선형대수학에서는 수치를 다룰 때 이용한다.
방정식을 선형대수학으로 표현
$$
\begin{matrix}
x + y = 5 \\
2x + 3y = 13
\end{matrix}
$$
선형대수학에서는 연립 1차 방정식을 해결하려 한다. 이때 선대는 위 식을 아래와 같이 계수만을 가져와 정리를 한다.
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 \\
13
\end{bmatrix}
$$
이때 $\begin{bmatrix}
1 \\
2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
5 \\
13
\end{bmatrix}$과 같은 것들을 벡터라 부르며 이때 세로로 쌓여있기 때문에 열 벡터 (Column Vector)라 부른다. (마찬가지로 가로로 쌓인 $\begin{bmatrix}
1 & 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
2 & 3
\end{bmatrix}$은 행 벡터(Row Vector)라 부른다.)
이때 행렬 내의 요소를 가리킬 때 “행”과 “열”을 이용해 가리킬 수 있다.
$A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}$의 2를 가리킬 떄 2는 2번째 행, 1번째 열에 있으므로 2행 1열의 요소라 말하며 $a_{2, 1}$로 표현한다.
💡 이전에 본 것처럼 이러한 하나의 숫자(요소)를 선형대수학에서는 Scalar라 부르며 이러한 Scalar를 쌓으면 Vector, Vector를 쌓으면 Matrix가 되는 것이다.
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 \\
13
\end{bmatrix}
$$
다시 위 식으로 돌아가서 이 식을 그러면 어떻게 해석하느냐가 관건이다.
$$
\begin{matrix}
x + y = 5 \\
2x + 3y = 13
\end{matrix}
$$
행렬 식은 위 연립 방정식을 기반으로 탄생했으므로 다시 연립 방정식으로 변환이 가능해야 한다.
이때 행렬과 벡터의 곱을 사용하면 되는데 사실 $\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}$과 $\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}$ 사이에 곱이 생략된 형태이다.
행렬의 곱은 나중에 제대로 배울 것이나 여기서는 맛만 보도록 하자.
행렬 A의 첫 번째 Row vector $\begin{bmatrix}
1 & 1
\end{bmatrix}$과 $\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}$를 각 요소에 대해 곱을 하고 더하면 $\begin{bmatrix}
x + y
\end{bmatrix}$가 나오게 되고 마찬가지로 두 번째 Row Vector $\begin{bmatrix}
2 & 3
\end{bmatrix}$와 $\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}$를 곱하고 더하면 $\begin{bmatrix}
2x + 3y
\end{bmatrix}$가 나오게 되어 이를 쌓아 아래와 같이 표현하면 이전과 매우 비슷한듯한 사실상 동일한 식이 나오게 된다.
$$
\begin{bmatrix}
x + y \\
2x + 3y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 \\
13
\end{bmatrix}
$$
이 방식이 바로 행렬의 곱이다. 나중에 이에 대해 자세히 알아보도록 하자.
이번 장에서는 스칼라, 벡터, 행렬, 텐서라는 선형대수학에서 수학을 다룰 때 사용하는 도구들에 대해 간단히 살펴 보았고, 행렬과 벡터를 이용해 대수학에서의 1차 연립 방정식을 선형대수학 형태로 표현하는 방법에 대해 간단히 알아보았다.